Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=-x²+2x．
（Ⅰ）求函數(shù)y=（

1

2

）^f（x）的最小值；
（Ⅱ）問是否存在這樣的正數(shù)m，n，當(dāng)x∈[m，n]時，g（x）=f（x），且g（x）的值域為[

1

n

，

1

m

]？若存在，求出所有的m，n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f（x）的最小值，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得y的最小值．
（Ⅱ）先根據(jù)題意判斷出1≤m＜n，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性分別求得f（n）=

1

n

，f（m）=

1

m

求得n和m．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=-（x-1）²+1≤1，
又y=（

1

2

）^t，為減函數(shù)，因此，當(dāng)x=1時y有最小值

1

2

．
（Ⅱ）g（x）=f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1≤1，
又m＞0，n＞0，
∴

1

m

≤1，m≥1，即1≤m＜n，f（x）為減函數(shù)，
于是

1

n

=g（n）=-n²+2n，即（n-1）（n²-n-1）=0，
∴

1

m

=g（m）=-m²+2m，即（m-1）（m²-m-1）=0，
∵1≤m＜n，
∴m=1，n=

1+ 5

2

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．特別是對二次函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．