(2005山東,22)如下圖,已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn),且與直線相切,其中p0,

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;

(2)設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn),直線OAOB的傾斜角分別為αβ,當(dāng)α、β變化且α+β為定值θ(0θπ)時(shí),證明:直線AB恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

答案:略
解析:

解析:(1)設(shè)M為動(dòng)圓圓心,記為F,過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線,垂足為N

由題意知:,即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線的距離相等,由拋物線定義知:點(diǎn)M的軌跡為拋物線,其中為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線,所以軌跡方程為

(2)設(shè),由題意得(否則)

所以直線AB的斜率存在,設(shè)其方程為y=kxb

顯然.將y=kxb聯(lián)立消去x,得

由韋達(dá)定理知

.    (*)

①當(dāng)時(shí),即時(shí),

,

(*)式知:

因此直線AB的方程可表示為:

,即k(x2p)y=0

∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(2p,0)

②當(dāng),由

(*)式代入上式整理化簡(jiǎn),得:

此時(shí),直線AB的方程可表示為,

∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)

∴由①②知,

當(dāng)時(shí),直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(2p,0);

當(dāng)時(shí),直線AB恒過(guò)定點(diǎn)


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