Question

(2005山東，22)如下圖,已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，其中p＞0，

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

(2)設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α、β變化且α+β為定值θ(0＜θ＜π)時(shí)，證明：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設(shè)M為動(dòng)圓圓心，記為F，過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為N． 由題意知：，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線的距離相等，由拋物線定義知：點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為． (2)設(shè)，由題意得(否則)且． 所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx＋b． 顯然．將y=kx＋b與聯(lián)立消去x，得． 由韋達(dá)定理知 ．　　　　(*) ①當(dāng)時(shí)，即時(shí)， ， ， ． 由(*)式知：． 因此直線AB的方程可表示為： ，即k(x＋2p)－y=0． ∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(－2p，0)． ②當(dāng)，由得 ． 將(*)式代入上式整理化簡(jiǎn)，得： ． 此時(shí)，直線AB的方程可表示為， 即． ∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)． ∴由①②知， 當(dāng)時(shí)，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(－2p，0)； 當(dāng)時(shí)，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．