Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，對于任意正數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1．若對于正數(shù)a、b滿足f（2a+b）＜2，求

b+2

a+2

的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先利用賦值法，求出f（4）=2，得到2a+b＜4，且2a+b＞0，由線性規(guī)化可得關(guān)于（a，b）可行域，可求式化為k=

b+2

a+2

=

b-(-2)

a-(-2)

，轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的動點（a，b）與定點（-2，-2）連線的斜率可獲得解

解答： 解：令x=y=2，則f（2×2）=f（2）+f（2），
∴f（4）=2f（2）=2×1=2．
∵f（2a+b）＜2=f（4），f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)
∴2a+b＜4
∵2a+b＞0，由線性規(guī)化可得關(guān)于（a，b）可行域，
∵設(shè)k=

b+2

a+2

=

b-(-2)

a-(-2)

，
∴k就是可行域內(nèi)的動點B（a，b）與定點A（-2，-2）連線的斜率
∵k_AD=

4+2

2

=3，k_AC=

2

2+2

=

1

2

，
∴k的范圍為（

1

2

，3），
即求

b+2

a+2

的取值范圍為（

1

2

，3）

點評：本題考查了抽象函數(shù)的求值及利用線性規(guī)劃求取值范圍，關(guān)鍵

b+2

a+2

轉(zhuǎn)化為斜率的問題，屬于中檔題．