已知圓O:x2+y2=1,點(diǎn)P在直線l:2x+y-3=0上,過點(diǎn)P作圓O的兩條切線,A,B為兩切點(diǎn).
(1)求切線長PA的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M為直線y=x與直線l的交點(diǎn),若在平面內(nèi)存在定點(diǎn)N(不同于點(diǎn)M),滿足:對于圓 O上任意一點(diǎn)Q,都有
QN
QM
為一常數(shù),求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).
(3)求
PA
PB
的最小值.
分析:(1)由勾股定理得:|PO|2=R2+|PA|2,半徑R=1,所以要求|PA|最小,就是求|PO|最短,而|PO|最短時(shí),OP垂直于直線2x+y-3=0,由此可得結(jié)論;
(2)由直線y=x與直線l:2x+y-3=0聯(lián)立,可得交點(diǎn)坐標(biāo)M(1,1),設(shè)Q(m,n),N(x,y),利用
QN
QM
為一常數(shù),建立等式,根據(jù)Q的任意性,即可求得結(jié)論;
(3)由題意,四點(diǎn)P,A,O,B共圓,當(dāng)且僅當(dāng)圓與直線相切時(shí),|PA|最小,∠APB最大,
PA
PB
取得最小值.
解答:解:(1)由勾股定理得:|PO|2=R2+|PA|2,半徑R=1,所以要求|PA|最小,就是求|PO|最短,
而|PO|最短時(shí),OP垂直于直線2x+y-3=0,所以最短|OP|=
|0+0-3|
4+1
=
3
5

所以|PA|2=|PO|2-R2=
4
5

即|PA|最小時(shí),|PA|=
2
5
5

直線2x+y-3=0的斜率是k=-2,則PO的斜率是k'=
1
2
,所以O(shè)P方程是y=
x
2

將方程y=
x
2
與直線2x+y-3=0聯(lián)立,解得:x=
6
5
,故有y=
3
5
,即點(diǎn)P坐標(biāo)是(
6
5
,
3
5
);
(2)由直線y=x與直線l:2x+y-3=0聯(lián)立,可得交點(diǎn)坐標(biāo)M(1,1),設(shè)Q(m,n),N(x,y)
QN
QM
=
(x-m)2+(y-n)2
(m-1)2+(n-1)2
(λ≠1)
∴m(2λ-2x)+n(2λ-2y)+x2+y2-3λ+1=0
∵對于圓 O上任意一點(diǎn)Q,都有
QN
QM
為一常數(shù),
2λ-2x=0
2λ-2y=0
x2+y2-3λ+1=0
,解得x=y=λ=
1
2

∴N(
1
2
,
1
2

(3)由題意,四點(diǎn)P,A,O,B共圓,當(dāng)且僅當(dāng)圓與直線相切時(shí),|PA|最小,∠APB最大,
PA
PB
取得最小值
由(1)知P坐標(biāo)是(
6
5
,
3
5
);
設(shè)A(a,b),則過A的切線方程為:ax+by=1,將(
6
5
3
5
)代入可得
6
5
a+
3
5
b=1
,
∵a2+b2=1
∴a=
10+2
5
15
,b=
5-4
5
15
,或a=
10-2
5
15
,b=
5+4
5
15

PA
PB
=(
10+2
5
 
-
6
5
,
5-4
5
15
-
3
5
)•(
10-2
5
15
-
6
5
5+4
5
15
-
3
5
)=-
4
45
點(diǎn)評:本題考查圓的切線,考查直線與圓的位置關(guān)系,考查向量知識的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊系列答案
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2
2
的橢圓,其左焦點(diǎn)為F.若P是圓O上一點(diǎn),連接PF,過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點(diǎn)Q.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
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3
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