Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R，a＞0）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）因?yàn)閍＞0，通過(guò)觀察解析式即可看出f（x）非奇非偶，只需舉出反例，容易驗(yàn)證f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）；
（2）去絕對(duì)值會(huì)發(fā)現(xiàn)得到的f（x）是分段函數(shù)，每段都是二次函數(shù)，所以可根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性或取得頂點(diǎn)的情況求函數(shù)f（x）的最小值．

解答： 解：（1）f（-1）=2+|1+a|，f（1）=2+|1-a|，a＞0，∴|1+a|≠|(zhì)1-a|即f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1）；
∴f（x）是非奇非偶函數(shù)；
（2）f（x）=

x2+x-a+1=(x+ 1 2 )2-a+ 3 4 x≥a x2-x+a+1=(x- 1 2 )2+a+ 3 4 x＜a

；
∴①x≥a時(shí)，f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增，∴此時(shí)，f（x）的最小值為f（a）=a²+1；
②x＜a時(shí)，若0＜a≤

1

2

，f（x）在（-∞，a）單調(diào)遞減，∴f（x）＞f（a）=a²+1；
若a＞

1

2

，f（x）≥f(

1

2

)=a+

3

4

；
f（a）-f（

1

2

）=a2-a+

1

4

=(a-

1

2

)2≥0；
∴f（a）≥f(

1

2

)；
∴綜上得，0＜a≤

1

2

時(shí)，f（x）的最小值為a²+1；
a＞

1

2

時(shí)，f（x）的最小值為a+

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：考查處理含絕對(duì)值函數(shù)的方法：去絕對(duì)值，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及頂點(diǎn)情況求二次函數(shù)的最小值，以及求分段函數(shù)最小值的方法．