Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）=x|x-m|（m＞0），
（1）當(dāng)x＜0時，求f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值g（m）的表達(dá)式；
（3）當(dāng)m=2時，記h（x）=f（f（x））-a（a∈R），試求函數(shù)y=h（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由偶函數(shù)的性質(zhì)可解得f（x）=f（-x）=（-x）|-x-m|=-x|x+m|；
（2）化簡f（x）=

x(x-m)，x≥m x(m-x)，0≤x＜m

；從而分類討論函數(shù)的最值；
（3）當(dāng)m=2時，f（x）=

x|x-2|，x≥0 -x|x+2|，x＜0

；f（f（x））=

x|x-2||x|x-2|-2|，x≥0 -x|x+2||x|x+2|+2|，x＜0

，h（x）=f（f（x））-a的零點個數(shù)即函數(shù)h（x）與函數(shù)y=a的交點的個數(shù)，
作函數(shù)的圖象求解．

解答： 解：（1）當(dāng)x＜0時，-x＞0；
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=（-x）|-x-m|=-x|x+m|；
（2）f（x）=

x(x-m)，x≥m x(m-x)，0≤x＜m

；
①當(dāng)0＜m≤2時，
當(dāng)0＜x＜m時，當(dāng)x=

m

2

時，f（x）_max=

m2

4

；
當(dāng)x≥m時，x=2時有最大值f（2）=2（2-m）；
由

m2

4

-2（2-m）=

m2+8m-16

4

＜0解得，
0＜m＜4

2

-4；
故當(dāng)0＜m＜4

2

-4時，f（x）_max=2（2-m）；
當(dāng)4

2

-4≤m≤2時，f（x）_max=

m2

4

；
當(dāng)2＜m＜4時，當(dāng)x=

m

2

時，f（x）_max=

m2

4

；
當(dāng)m≥4時，當(dāng)x=2時有最大值為f（2）=2（m-2）；
綜上所述，g（m）=

2(2-m)，0＜m＜4 2 -4 m2 4 ，4 2 -4≤m＜4 2(m-2)，m≥4

；
（3）當(dāng)m=2時，f（x）=

x|x-2|，x≥0 -x|x+2|，x＜0

；
f（f（x））=

x|x-2||x|x-2|-2|，x≥0 -x|x+2||x|x+2|+2|，x＜0

，
h（x）=f（f（x））-a的零點個數(shù)即函數(shù)h（x）與函數(shù)y=a的交點的個數(shù)，
作函數(shù)h（x）與函數(shù)y=a的圖象如下，

當(dāng)a=1時，有6個交點，當(dāng)a＞1時，有兩個交點，
當(dāng)0＜a＜1時，有10個交點，
當(dāng)a=0時，有5個交點，
當(dāng)a＜0時，沒有交點；
即當(dāng)a=1時，函數(shù)y=h（x）的零點個數(shù)為6，
當(dāng)a＞1時，函數(shù)y=h（x）的零點個數(shù)為2，
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y=h（x）的零點個數(shù)為10，
當(dāng)a=0時，函數(shù)y=h（x）的零點個數(shù)為5，
當(dāng)a＜0時，函數(shù)y=h（x）沒有零點．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用及函數(shù)的圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．