【題目】設是函數(shù)的一個極值點.

（1）求與的關系式（用表示）

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

(3)設，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）；

（2）① 當時，單調(diào)遞增區(qū)間為：；單調(diào)遞減區(qū)間為：，；

② 當時，單調(diào)遞增區(qū)間為：；單調(diào)遞減區(qū)間為：，；

（3）.

【解析】

試題（1）解決類似的問題時，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點，再計算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得.（2）第二問關鍵是分離參數(shù)，把所求問題轉化為求函數(shù)的最小值問題.（3）若可導函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉化為恒成立，從而構建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析：（1）∵

∴

由題意得：，即，

∴且

令得，

∵是函數(shù)的一個極值點.

∴，即故與的關系式

（2） ① 當時，，由得單調(diào)遞增區(qū)間為：；

由得單調(diào)遞減區(qū)間為：，；

② 當時，，由得單調(diào)遞增區(qū)間為：；

由得單調(diào)遞減區(qū)間為：，；

（3） 由（2）知：當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，

在上的值域為

易知在上是增函數(shù)

在上的值域為

由于，又因為要存在，

使得成立，所以必須且只須， 解得：

所以：的取值范圍為

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相關習題

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【題目】已知有限集，如果中元素滿足，就稱為“復活集”.

（1）判斷集合是否為“復活集”，并說明理由；

（2）若，，且是“復活集”，求的取值范圍；

（3）若，求證：“復活集”有且只有一個，且.

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【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，（ 為參數(shù)），為曲線上的動點，動點滿足（且），點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程，并說明是什么曲線；

（2）在以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸的極坐標系中， 點的極坐標為，射線與的異于極點的交點為，已知面積的最大值為，求的值.

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【題目】一個不透明的盒子中關有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三種昆蟲共11只，現(xiàn)在盒子上開一小孔，每次只能飛出1只昆蟲(假設任意1只昆蟲等可能地飛出)．若有2只昆蟲先后任意飛出(不考慮順序)，則飛出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是.

(1)求盒子中蜜蜂有幾只；

(2)若從盒子中先后任意飛出3只昆蟲(不考慮順序)，記飛出蜜蜂的只數(shù)為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望E(X)．

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【題目】已知向量，向量，設函數(shù)的圖象關于直線對稱，其中常數(shù).

（1）若，求的值域；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，用五點法作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象．

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【題目】已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，當時， 內(nèi)切圓的半徑為.

(1)求橢圓的方程；

(2)已知直線與橢圓相較于兩點，且，當直線的斜率之和為2時，問：點到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.

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【題目】某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結果如下表所示：

喜歡甜品

不喜歡甜品

合計

南方學生

60

20

80

北方學生

10

10

20

合計

70

30

100

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；

已知在被調(diào)查的北方學生中有5名數(shù)學系的學生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率．

附：

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【題目】解關于的不等式

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【題目】已知數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為，設，若在數(shù)列中，對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_________.

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