已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3,f(x)在區(qū)間[t,t+1]上最小值記為g(t).
(1)寫出g(t)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若g(t)≥2m2-3m對(duì)t∈R都成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)所給的二次函數(shù)的性質(zhì),寫出對(duì)于對(duì)稱軸所在的區(qū)間不同時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最小值,是一個(gè)分段函數(shù)形式.
(2)若g(t)≥2m2-3m對(duì)t∈R都成立,只需若g(t)min≥2m2-3m對(duì)t∈R都成立.轉(zhuǎn)化為求g(t)min,一元二次不等式問題.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,對(duì)稱軸為 x=1,
當(dāng)t+1≤1,即t≤0時(shí),f(x)在區(qū)間[t,t+1]上最小值為g(t)=f(t+1)=t2+2,
當(dāng)t<1<t+1,即0<t<1時(shí),f(x)在區(qū)間[t,t+1]上最小值為g(t)=f(1)=2,
當(dāng)t≥1時(shí),f(x)在區(qū)間[t,t+1]上最小值為g(t)=f(t)=t2-2t+3.
綜上可得,f(x)在區(qū)間[t,t+1]上最小值g(t)=
t2+2,t≤0
2,0<t<1
t2-2t+3,t≥1


(2)由(1)知g(t)=
t2+2,t≤0.g(t)≥2
2,0<t<1
t2-2t+3,t≥1.g(t)≥2
,g(t)最小值為2.
若g(t)≥2m2-3m對(duì)t∈R都成立,只需若g(t)min≥2m2-3m對(duì)t∈R都成立.
所以2m2-3m≤2,解得:-
1
2
≤m≤2

    點(diǎn)評(píng):本題考查二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)與不等式.考查分類討論,轉(zhuǎn)化計(jì)算,數(shù)形結(jié)合的思想.
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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
    π
    2
    )的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
    A、f(x)=2sin(πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    B、f(x)=2sin(2πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    C、f(x)=2sin(πx+
    π
    3
    )(x∈R)
    D、f(x)=2sin(2πx+
    π
    3
    )(x∈R)

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    (2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d
    ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
    (1)求f(x);
    (2)設(shè)g(x)=x
    f′(x)
     , m>0
    ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
    (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    (2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2,x∈(0,+∞)
    ,其中0<a<b.
    (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
    (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
    (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
    求證:f1(x)+f2(x)>
    4c2
    k(k+c)

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

    已知函數(shù)f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2,x∈(0,+∞)
    ,其中0<a<b.
    (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
    (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
    (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
    求證:f1(x)+f2(x)>
    4c2
    k(k+c)

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

    已知函數(shù)f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d
    ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
    (1)求f(x);
    (2)設(shè)g(x)=x
    f′(x)
     , m>0
    ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
    (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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