Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+3，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上最小值記為g（t）．
（1）寫出g（t）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若g（t）≥2m²-3m對(duì)t∈R都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的二次函數(shù)的性質(zhì)，寫出對(duì)于對(duì)稱軸所在的區(qū)間不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最小值，是一個(gè)分段函數(shù)形式．
（2）若g（t）≥2m²-3m對(duì)t∈R都成立，只需若g（t）min≥2m²-3m對(duì)t∈R都成立．轉(zhuǎn)化為求g（t）min，一元二次不等式問題．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，對(duì)稱軸為 x=1，
當(dāng)t+1≤1，即t≤0時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上最小值為g（t）=f（t+1）=t²+2，
當(dāng)t＜1＜t+1，即0＜t＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上最小值為g（t）=f（1）=2，
當(dāng)t≥1時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上最小值為g（t）=f（t）=t²-2t+3．
綜上可得，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上最小值g（t）=

t2+2，t≤0 2，0＜t＜1 t2-2t+3，t≥1

．

（2）由（1）知g（t）=

t2+2，t≤0．g(t)≥2 2，0＜t＜1 t2-2t+3，t≥1．g(t)≥2

，g（t）最小值為2．
若g（t）≥2m²-3m對(duì)t∈R都成立，只需若g（t）min≥2m²-3m對(duì)t∈R都成立．
所以2m²-3m≤2，解得：-

1

2

≤m≤2

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與不等式．考查分類討論，轉(zhuǎn)化計(jì)算，數(shù)形結(jié)合的思想．