Question

在極坐標(biāo)系中，過曲線L：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）外的一點(diǎn)A(2

5

，π+θ)（其中tanθ=2，θ為銳角）作平行于θ=

π

4

(ρ∈R)的直線l與曲線分別交于B，C．
（Ⅰ） 寫出曲線L和直線l的普通方程（以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)系下的普通方程的互化公式可求曲線方程及直線方程
（II）寫出直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，則有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)，由|BC|²=|AB|，|AC|，代入可求a的值

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化可得，曲線l的方程為：ρ

y2

ρ2

=2a

x

ρ

即 y²=2ax，A（-2，-4）
直線L的方程為y+4=x+2即y=x-2（3分）
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），
代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，則有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)
因?yàn)閨BC|²=|AB|，|AC|，所以（t₁-t₂）²=（t₁+t₂）²-4t₁•t₂=t₁•t₂
解得 a=1（7分）

點(diǎn)評：本題主要考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，直線與曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要熟練應(yīng)用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化．