如圖，設拋物線方程為，為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為．

（1）求證：三點的橫坐標成等差數(shù)列；

（2）已知當點的坐標為時，．求此時拋物線的方程。

 

【答案】

(1)根據(jù)已知條件設出點A,B的坐標，，然后借助于拋物線的導數(shù)來得到斜率值，．，進而解方程，得到證明。

(2)拋物線方程為或．

【解析】

試題分析：（1）證明：由題意設．

由得，得，所以，．

因此直線的方程為，

直線的方程為．

所以，①  ．②

由①減②得，因此，即．

所以 三點的橫坐標成等差數(shù)列．              6分

（2）由（1）知，當時，將其代入①、②并整理得：

，，

所以是方程的兩根，

因此，，

又，所以．

由弦長公式得．

又，所以或，

因此所求拋物線方程為或．    12分

考點：直線與拋物線的位置關系

點評：解決的關鍵是利用直線與拋物線的相切得到切線的斜率，同時聯(lián)立方程組求解弦長，屬于中檔題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，設拋物線方程為x2=2py（p＞0），M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B．
（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；
（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，|AB|=4
10
．求此時拋物線的方程；
（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線x2=2py（p＞0）上，其中，點C滿足
OC
=
OA
+
OB
（O為坐標原點）．若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，設拋物線方程為x2=2py（p＞0），M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B．
（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；
（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，2p）時，|AB|=4
10
，求此時拋物線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，設拋物線方程為x2=2py（p＞0），M為直線l：y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A、B．
（1）設拋物線上一點P到直線l的距離為d，F(xiàn)為焦點，當d-|PF|=
32
時，求拋物線方程；
（2）若M（2，-2），求線段AB的長；
（3）求M到直線AB的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省成都外國語學院高三2010-2011學年9月月考數(shù)學試題（理科） 題型：解答題

如圖，設拋物線方程為直線上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B。

（1）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；

（2）已知當M點的坐標為時，，求此時拋物線的方程；

（3）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標原點）.若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

 

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