Question

已知f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍為（　�。�

A．[-3，6]

B．（-3，6）

C．（-∞，-3]∪[6，+∞）

D．（-∞，-3）∪（6，+∞）

Answer 1

分析：先求出導數f′（x），由f（x）有極大值、極小值可知f′（x）=0有兩個不等實根．

解答：解：函數f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1，所以f′（x）=3x²+2ax+（a+6），
因為函數有極大值和極小值，所以方程f′（x）=0有兩個不相等的實數根，
即3x²+2ax+（a+6）=0有兩個不相等的實數根，
∴△＞0，∴（2a）²-4×3×（a+6）＞0，解得：a＜-3或a＞6．
故選D．

點評：本題以函數的極值為載體，考查導數在求函數極值的應用，將函數有極大值和極小值，轉化為方程f′（x）=0有兩個不相等的實數根是解題的關鍵．