Question

若點A（1，2）是拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點，經過點B（5，-2）的直線l與拋物線C交于P，Q兩點．
（Ⅰ）求證：

PA

•

QA

為定值；
（Ⅱ）若點P，Q與點A不重合，問△APQ的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由已知條件求出拋物線C：y²=4x，若直線l的斜率不存在，直線l：x=5，

PA

•

QA

=0；若直線l的斜率存在，設直線l：y=k（x-5）-2，（k≠0），利用根的判別式和韋達定理能推導出

PA

•

QA

為定值0．
（II） 若直線l的斜率不存在，直線l：x=5，S△APQ=

1

2

×4

5

×4=8

5

；若直線l的斜率存在時，令u=(

1

k

+1)2，有u≥0，推導出S△APQ=8

u2+4u

沒有最大值．

解答： 解：（I）∵點A（1，2）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，
∴4=2p，解得p=2，∴拋物線C：y²=4x，（2分）
若直線l的斜率不存在，直線l：x=5，
此時P(5，2

5

)，Q(5，-2

5

)，A(1，2)，
∴

PA

•

QA

=(-4，2-2

5

)•(-4，2+2

5

)=0，（3分）
若直線l的斜率存在，設直線l：y=k（x-5）-2，（k≠0），
點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯立

y2=4x y=k(x-5)-2

，
消去x，得ky²-4y-4（5k+2）=0，
∴y1+y2=

4

k

，y1y2=-

20k+8

k

=-20-

8

k

，
△=16+16k（5k+2）＞0，（5分）
∴

PA

•

QA

=（1-x₁，3=2-y₁）•（1-x₂，2-y₂）
=1-（x₁+x₂）+x₁x₂+4-2（y₁+y₂）+y₁y₂
=1-

y12+y22

4

+

y12y22

16

+4-2（y₁+y₂）+y₁y₂
=1-

(y1+y2)2-2y1y2

4

+

y12y22

16

+4-2（y₁+y₂）+y₁y₂
=1-

16 k2 +40+ 16 k

4

+

(-20- 8 k )2

16

+4-

8

k

-20-

8

k

=0，
∴

PA

•

QA

為定值0．（7分）
（II） 若直線l的斜率不存在，直線l：x=5，
此時P(5，2

5

)，Q(5，-2

5

)，A(1，2)，
S△APQ=

1

2

×4

5

×4=8

5

若直線l的斜率存在時，
|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+ 1 k2

•

80k2+32k+16 k2

，（9分）
點A（1，2）到直線l：y=k（x-5）-2的距離h=

4|k+1|

1+k2

，（10分）
S△APQ=

1

2

•|PQ|•h=8

(5k2+2k+1)(k+1)2 k4

，
令u=(

1

k

+1)2，有u≥0，
則S△APQ=8

u2+4u

沒有最大值．（12分）

點評：本題考查兩個向量的數量積為定理，考查三角形的面積是否有最大值的判斷，解題時要認真審題，注意根的判別式和韋達定理的合理運用．