Question

已知△ABC的邊AB邊所在直線(xiàn)的方程為x-3y-6=0點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)M（2，0）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，點(diǎn)T（-1，1）在A(yíng)C邊所在直線(xiàn)上且滿(mǎn)足

AT

•

AB

=0．
（I）求AC邊所在直線(xiàn)的方程；
（II）求△ABC的外接圓的方程；
（III）若點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-n，0），其中n為正整數(shù)．試討論在△ABC的外接圓上是否存在點(diǎn)P，使得|PN|=|PT|成立？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中

AT

•

AB

=0可得AC⊥AB，結(jié)合T點(diǎn)坐標(biāo)及AB的方程為x-3y-6=0點(diǎn)，我們易求出AC邊所在直線(xiàn)的方程；
（II）結(jié)合（I）中結(jié)論，及B、C兩點(diǎn)關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得△ABC的外接圓是以M為圓心，以BC為直徑的圓，求出BC長(zhǎng)即可得到圓的方程；
（III）若在△ABC的外接圓圓M上存在點(diǎn)P，使得|PN|=|PT|成立，則P為線(xiàn)段NT的垂直平分線(xiàn)L與圓M的公共點(diǎn)．所以當(dāng)L與圓M相離時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P；當(dāng)L與圓M相交或相切時(shí)則存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P．由此設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，代入點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）∵

AT

•

AB

=0∴AT⊥AB，又T在A(yíng)C上∴AC⊥AB，△ABC為Rt△ABC，（1分）
又AB邊所在直線(xiàn)的方程為x-3y-6=0，，所以直線(xiàn)AC的斜率為-3．（2分）
又因?yàn)辄c(diǎn)T（-1，1）在直線(xiàn)AC上，
所以AC邊所在直線(xiàn)的方程為y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．（3分）
（II）AC與AB的交點(diǎn)為A，所以由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），（5分）

∵點(diǎn)B關(guān)于M(2，0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C， ∴M為Rt△ABC斜邊上的中點(diǎn)，即為Rt△ABC外接圓的圓心

（6分）
又r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．（7分）
從△ABC外接圓的方程為：（x-2）²+y²=8．（8分）
（III）若在△ABC的外接圓圓M上存在點(diǎn)P，使得|PN|=|PT|成立，則P為線(xiàn)段NT的垂直平分線(xiàn)L與圓M的公共點(diǎn)．所以當(dāng)L與圓M相離時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P；當(dāng)L與圓M相交或相切時(shí)則存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P．
由N（-n，0），T（-1，1），知NT的斜率為

1

n-1

，線(xiàn)段NT的中點(diǎn)為(-

n+1

2

，

1

2

)
線(xiàn)段NT的垂直平分線(xiàn)L為y-

1

2

=-(n-1)(x+

n+1

2

)即2(1-n)x-2y+(2-n2)=0（10分）
圓M的圓心M到直線(xiàn)L的距離為
d=

|4(1-n)-0+2-n2|

4(1-n)2+(-2)2

=

|n2+4n-6|

2 n2-2n+2

（11分）
i）當(dāng)n=1時(shí)，d=

1

2

，而r=2

2

，由d＜r，此時(shí)直線(xiàn)L與圓M相交，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P
ii）當(dāng)n=2時(shí)d=

3 2

2

＜

8

=r，此時(shí)直線(xiàn)L與圓M相交，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P
iii）當(dāng)n≥3時(shí)，d=

n2+4n-6

2 n2-2n+2

=

1

2

(

n2-2n+2

+

6n-8

n2-2n+2

)＞

1

2

•2

6n-8

＞

8

=r
此時(shí)直線(xiàn)L與圓M相離，不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，與直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中根據(jù)已知條件確定A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)及三邊的關(guān)系，以判斷三角形ABC的形狀是解答本題的關(guān)鍵．