Question

在2014年清明節(jié)期間，高速公路車輛較多，某調(diào)查公司在服務區(qū)從七座以下小型汽車中，按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法，抽取40名駕駛員進行調(diào)查，將他們在某段高速公路上的車速（km/h）分成6段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）該公司在調(diào)查取樣中，用到的是什么抽樣方法？
（2）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值．
（3）若從車速在[60，70）的車輛中任取2輛，求抽出的2輛車中速度在[60，65）和[65，70）中各1輛的概率．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,系統(tǒng)抽樣方法,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）這個抽樣是按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調(diào)查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣；
（2）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點即為眾數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應的橫軸的左邊即為中位數(shù)；利用各個小矩形的面積乘以對應矩形的底邊的中點的和為數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（3）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數(shù)和車速在[65，70）的車輛數(shù)．從車速在（60，70）的車輛中任抽取2輛，設車速在[60，65）的車輛設為a，b，車速在[65，70）的車輛設為c，d，e，f，列出各自的基本事件數(shù)，從而求出相應的概率即可．

解答： 解：（1）由題意知這個抽樣是按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調(diào)查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣．
故調(diào)查公司在采樣中，用到的是系統(tǒng)抽樣，（2分）
（2）眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點，即眾數(shù)的估計值等于77.5    （4分）
設圖中虛線所對應的車速為x，則中位數(shù)的估計值為：
0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-75）=0.5，
解得x=77.5，即中位數(shù)的估計值為77.5                （6分）
（3）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數(shù)為：m₁=0.01×5×40=2（輛），（7分）
車速在[65，70）的車輛數(shù)為：m₂=0.02×5×40=4（輛）      （8分）
設車速在[60，65）的車輛設為a，b，車速在[65，70）的車輛設為c，d，e，f，
則所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15種   （10分）
抽出的2輛車中速度在[60，65）和[65，70）中各1輛的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共8種   （12分）
所以，抽出的2輛車中速度在[60，65）和[65，70）中各1輛的概率P=

8

15

．（13分）

點評：解決頻率分布直方圖的有關特征數(shù)問題，利用眾數(shù)是最高矩形的底邊中點；中位數(shù)是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值；平均數(shù)等于各個小矩形的面積乘以對應的矩形的底邊中點的和．此題把統(tǒng)計和概率結(jié)合在一起，比較新穎，也是高考的方向，應引起重視．