Question

如圖，在三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形，
（Ⅰ）求證：MD∥平面APC；
（Ⅱ）求證：平面ABC⊥平面APC．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）∵M為AB中點，D為PB中點，由中位線定理得MD∥AP，由線面平行的判定證得MD∥平面APC；
（Ⅱ）先證得AP⊥BC，又有AC⊥BC，通過線面垂直的判定證出BC⊥平面APC，再由面面垂直的判定證出平面ABC⊥平面PAC．
解答：證明：（Ⅰ）∵M為AB中點，D為PB中點，
∴MD∥AP，
又MD?平面ABC，
∴MD∥平面APC．
（Ⅱ）∵△PMB為正三角形，且D為PB中點，
∴MD⊥PB．
又由（Ⅰ）知MD∥AP，
∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，PB∩PC=P
∴AP⊥平面PBC，而BC包含于平面PBC，
∴AP⊥BC，
又AC⊥BC，而AP∩AC=A，
∴BC⊥平面APC，
又BC包含于平面ABC
∴平面ABC⊥平面PAC．
點評：本題主要是通過線線、線面、面面之間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化來考查線線、線面、面面的判定定理．