Question

已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，記橢圓的左頂點(diǎn)為A．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)垂直于y軸的直線l交橢圓于B，C兩點(diǎn)，試求△ABC面積的最大值；
（3）過點(diǎn)A作兩條斜率分別為k₁，k₂的直線交橢圓于D，E兩點(diǎn)，且k₁k₂=2，求證：直線DE恒過一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn)P（），建立方程，求出幾何量，從而可得橢圓C的方程；
（2）設(shè)B（m，n），C（-m，n），則S_△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，利用基本不等式可求△ABC面積的最大值；
（3）設(shè)AB、AC的方程，代入橢圓方程可求B、C的坐標(biāo)，從而可得直線BC的方程，整理并令y=0，即可證得直線BC恒過定點(diǎn)．
解答：（1）解：∵橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，
∴，解得，
所以橢圓C的方程為x²+2y²=1…4分
（2）解：設(shè)B（m，n），C（-m，n），則S_△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，…6分
又|m|•|n|，所以|m|•|n|，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)…8分
從而S_△ABC≤，即△ABC面積的最大值為…9分
（3）證明：因?yàn)锳（-1，0），所以AD：y=k₁（x+1），AE：y=k₂（x+1），
由，消去y，得，解得x=-1或x=，
∴
同理E（）
∵k₁k₂=2，∴…12分
∴直線DE的方程為，
即y-，即y=…14分
所以，
則由，得直線DE恒過定點(diǎn)…16分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，考查直線恒過定點(diǎn)，屬于中檔題．