Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+3）e^x（x，a∈R）
（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的圖象在A（1，f（1））處的切線方程．
（2）若函數(shù)y=f（x）為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）當(dāng)a=-3時，求f（x）的極小值．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，進(jìn)而得到切線方程；
（2）得出f′（x），函數(shù)y=f（x）為單調(diào)函數(shù)，則△≤0；
（3）得出f′（x），利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系即可得出．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=（x²+3）e^x，∴f′（x）=（x²+2x+3）e^x，∴f′（1）=6e，
而f（1）=4e，∴函數(shù)f（x）的圖象在A（1，f（1））處的切線方程為y-4e=6e（x-1），化為y=6ex-2e．
（2）∵f′（x）=[x²+（a+2）x+a+3]e^x，及函數(shù)y=f（x）為單調(diào)函數(shù)，
∴△=（a+2）²-4（a+3）≤0，解得-2

2

≤a≤2

2

．
（3）當(dāng)a=-3時，f（x）=（x²-3x+3）e^x，
∴f′（x）=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x，
令f′（x）=0，解得x=0，1．
列表如下：
由表格可知：當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值，
且f（1）=e．

點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值是解題的關(guān)鍵．