Question

以下給出五個命題，其中真命題的序號為

 

①函數(shù)f（x）=3ax+1-2a在區(qū)間（-1，1）上存在一個零點，則a的取值范圍是a＜-1或a＞

1

5

；
②“菱形的對角線相等”的否定是“菱形的對角線不相等”；
③?x∈（0，

π

2

），x＜tanx；
④若0＜a＜b＜1，則lna＜lnb＜a^b＜b^a；
⑤“b²=ac”是“a，b，c成等比數(shù)列”的充分不必要條件．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①依題意，由f（-1）•f（1）＜0可求得a的范圍，從而可判斷①；
②利用全稱命題的否定為特稱命題，可判斷“菱形的對角線相等”的否定是“菱形的對角線不都相等”，從而可判斷②；
③利用單位圓上的弧度數(shù)x與正切線可判斷③；
④利用y=lnx為增函數(shù)，y=a^x、y=b^x均為減函數(shù)，可判斷④；
⑤利用充分必要條件的概念可判斷⑤．

解答： 解：①，∵f（x）=3ax+1-2a在區(qū)間（-1，1）上存在一個零點，
∴f（-1）•f（1）=（1-5a）（a+1）＜0，解得a＜-1或a＞

1

5

，故①正確；
②，“菱形的對角線相等”的否定是“菱形的對角線不都相等”，故②錯誤；
③，由圖可知，x=

BC

，tanx=BA（正切線），

?x∈（0，

π

2

），x＜tanx，正確；
④，∵0＜a＜b＜1，y=lnx為增函數(shù)，y=a^x、y=b^x均為減函數(shù)，
∴l(xiāng)na＜lnb＜0＜a^b＜b^b＜b^a，故④正確；
⑤“b²=ac”是“a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件，故⑤錯誤．
綜上所述，①③④正確，
故答案為：①③⑤．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的零點的概念、性質(zhì)及應(yīng)用，考查否命題、充分必要條件，屬于中檔題．