Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

，
（Ⅰ）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義證明f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

解答： 證明：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
則f（-x）=-x+

1

x

=-（x-

1

x

）=-f（x），
則f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)x₁＜x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁-

1

x1

-x₂+

1

x2

=（x₁-x₂）-

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

），
∵x₁＜x₂＜0，
∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0，
∴（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
則f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．