Question

（2011•廣州模擬）已知正方形ABCD的邊長為2，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對角線BD折起，使AC=a，得到三棱錐A-BCD，如圖所示． 
（1）當a=2時，求證：AO⊥平面BCD；
（2）當二面角A-BD-C的大小為120°時，求二面角A-BC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）先根據AC=a=2得到AC²=AO²+CO²，進而得AO⊥CO，再結合AC，BD是正方形ABCD的對角線對應的AO⊥BD進而證明結論；
（2）先建立空間直角坐標系，結合二面角A-BD-C的大小為120°時對應的結論，進而求出兩個半平面的法向量，即可求出結論．

解答：解：（1）證明：根據題意，在△AOC中，AC=a=2，AO=CO=

2

，
所以AC²=AO²+CO²，所以AO⊥CO．…（2分）
因為AC，BD是正方形ABCD的對角線，
所以AO⊥BD．…（3分）
因為BD∩CO=O，
所以AO⊥平面BCD；．…（4分）
（2）：由（1）知，CO⊥OD，如圖，以O為原點，OC，OD所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖的空間直角坐標系O-xyz，…（5分）
則有O（0，0，0），D(0，

2

，0)，C(

2

，0，0)，B(0，-

2

，0)．
設A（x₀，0，z₀）（x₀＜0），則

OA

=(x0，0，z0)，

OD

=(0，

2

，0)．…（6分）
又設面ABD的法向量為n=（x₁，y₁，z₁），
則

n• OA =0 n• OD =0.

即

x0x1+z0z1=0 2 y1=0.

  
所以y₁=0，令x₁=z₀，則z₁=-x₀．
所以n=（z₀，0，-x₀）．…（8分）
因為平面BCD的一個法向量為m=（0，0，1），
且二面角A-BD-C的大小為120°，…（9分）
所以|cos?m，n＞|=|cos120°|=

1

2

，得z02=3x02．
因為|OA|=

2

，所以

x02+z02

=

2

．
解得x0=-

2

2

，z0=

6

2

．所以A(-

2

2

，0，

6

2

)．…（10分）
設平面ABC的法向量為l=（x₂，y₂，z₂），因為

BA

=(-

2

2

，

2

，

6

2

)，

BC

=(

2

，

2

，0)，
則

l• BA =0 l• BC =0.

，即

- 2 2 x2+ 2 y2+ 6 2 z2=0 2 x2+ 2 y2=0.

令x₂=1，則y2=-1，z2=

3

．
所以l=(1，-1，

3

)．…（12分）
設二面角A-BC-D的平面角為θ，
所以cosθ=|cos?l，m＞|=|

3

1+1+( 3 )2

=|=

15

5

．…（13分）
所以tanθ=

6

3

．
所以二面角A-BC-D的正切值為

6

3

．…（14分）

點評：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角．解決這類問題的關鍵在于求出兩個半平面的法向量．