Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2a_n-2，數(shù)列{b_n}是首項為a₁，公差不為零的等差數(shù)列，且b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）對于?n∈N^*不等式

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

＜m恒成立，求m取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得到a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，從而推導出數(shù)列{a_n}是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，由此求出數(shù)列{a_n}的通項公式為an=2n．進而能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）由已知條件利用裂項求和法求出T_n=5-

3n+5

2n

，從而得到{T_n}是單調遞增的數(shù)列．T_n＜5，再由對于?n∈N^*不等式

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

＜m恒成立，能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
得a_n=2a_n-1，又a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為an=2n．
b₁=a₁=2，設公差為d，則由b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列，
得（2+2d）²=2×（2+10d），…（4分）
解得d=0（舍去）或d=3．
∴數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=3n-1．…（6分）
（2）令T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=

2

2

+

5

22

+

8

23

+…+

3n-1

2n

，
2T_n=2+

5

2

+

8

22

+…+

3n-1

2n-1

，
兩式相減得T_n=2+

3

2

+

3

22

+…+

3

2n-1

-

3n-1

2n

，
∴Tn=2+

3 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-1

2n

=5-

3n+5

2n

，
∴Tn+1-Tn=5-

3n+8

2n+1

-(5-

3n+5

2n

)=

3n+2

2n+1

＞0
∴{T_n}是單調遞增的數(shù)列．T_n＜5，
∵對于?n∈N^*不等式

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

＜m恒成立，
∴m的取值范圍是{m|m≥5}．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查實數(shù)m的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．