Question

一束光線從點(diǎn)A（-1，1）出發(fā)，經(jīng)過直線l：x-y-1=0反射后與圓C：x²+y²-6x-8y+24=0相切，求反射線所在的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的直線方程

專題：直線與圓

分析：要滿足題意只需從A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′射出的光線與圓相切即可，由直線與圓的位置關(guān)系可得直線的斜率，驗(yàn)證無斜率的直線可得．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于直線l：x-y-1=0的對稱點(diǎn)為A′（a，b），
則可得

a-1 2 - b+1 2 -1=0 b-1 a+1 •1=-1

，解得

a=2 b=-2

，即A′（2，-2），
由反射原理可知，從A射出的光線經(jīng)l反射后與圓C相切，
只需從A′射出的光線（即反射光線）與圓相切即可，
設(shè)反射光線的方程為y+2=k（x-2），即kx-y-2k-2=0，
化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程可得（x-3）²+（y-4）²=1，
可得圓心（3，4），半徑r=1，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得

|3k-4-2k-2|

k2+1

=1，
解得k=

35

12

，此時(shí)直線的方程為35x-12y-94=0，
當(dāng)直線無斜率時(shí)，方程為x=3滿足題意，
綜上可得反射線所在的直線方程為：35x-12y-94=0或x=3

點(diǎn)評：本題考查直線與點(diǎn)的對稱問題，涉及直線與圓的位置關(guān)系，注意直線斜率的存在與否是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題和易錯(cuò)題．