Question

在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且1+

tanA

tanB

=

-2c

b

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若m=（0，-1），n=（cosB，2cos²

C

2

），試求|m+n|的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）把已知等式中的切和邊轉(zhuǎn)化成角的正弦和余弦，整理可求得cosA的值，進(jìn)而求得A．
（Ⅱ）表示出m+n，進(jìn)而求得|m+n|²的表達(dá)式并化簡，利用B的范圍確定|m+n|²的范圍，進(jìn)而求得m+n的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵1+

tanA

tanB

=

-2c

b

．
∴1+

sinAcosB

cosAsinB

=

-2sinC

sinB

，整理求得cosA=-

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

2π

3

．
（Ⅱ）∵m+n=（cosB，2cos²

C

2

-1）=（cosB，cosC），
∴|m+n|²=cos²B+cos²C=cos²B+cos²（

π

3

-B）=

1+cos2B

2

+

1+cos( 2π 3 -2B)

2

=

1

2

cos2B-

1

4

cos2B+

3

4

sin2B+1=

1

2

sin（2B+

π

6

）+1，
∵A=

2π

3

，
∴B+C=

π

3

，
∵B∈（0，

π

3

），
∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（2B+

π

6

）≤1，
∴

5

4

＜|m+n|²≤

3

2

，
∴|m+m|∈（

5

2

，

6

2

]．

點評：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的靈活運用．