Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,a₁=1,S_n+1=2S_n+3n+1(n∈N^*).

(1)證明數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列;

(2)對(duì)k∈N^*,設(shè)f(n)=求使不等式f(m)＞f(2m²)成立的自然數(shù)m的最小值.

(文)對(duì)a、b∈R,已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a,公差為b,前n項(xiàng)和;等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b,公比為a.

(1)求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式a_n、b_n;

(2)對(duì)k∈N^*,設(shè)f(n)=若存在正整數(shù)m使f(m+11)=2f(m)成立,求數(shù)列{f(n)}的前10m項(xiàng)的和.

Answer 1

(理)(1)證明:∵a₁=1,S_n+1=2S_n+3n+1,

∴S₂=2S₁+4=a₁+a₂.

∴a₂=5.

又當(dāng)n≥2時(shí),S_n=2S_n-1+3(n-1)+1,

∴S_n+1-S_n=2(S_n-S_n-1)+3,即得a_n+1=2a_n+3.

可變形為a_n+1+3=2(a_n+3).

∴=2(n≥2).

而,

∴數(shù)列{a_n+3}是公比為2,首項(xiàng)為a₁+3=4的等比數(shù)列.

(2)解:由(1),知a_n+3=4·2^n-1.

∴a_n=2ⁿ⁺¹-3,S_n=-3n=2ⁿ⁺²-3n-4.

∴f(n)=(k∈N^*).

①當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),

∵f(m)=m+1,f(2m²)=2m²+1,

∴不存在自然數(shù)m,使f(m)＞f(2m²)恒成立.

②當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),f(m)=2^m+1-1,

f(2m²)=2m²+1,而f(m)＞f(2m²),

當(dāng)m=1時(shí),f(m)=2¹⁺¹-1=3=f(2m²)=3;

當(dāng)m=3時(shí),f(m)=2³⁺¹-1=15＜f(2m²)=19;

當(dāng)m=5時(shí),f(m)=2⁵⁺¹-1=63＞f(2m²)=51;

又當(dāng)m≥5時(shí),f(m)=2^m+1-1=2·2^m-1

=2(1+)-1

≥2m²+2m+3＞2m²+1=f(2m²).

即當(dāng)m≥5且為奇數(shù)時(shí),f(m)＞f(2m²)成立,

此時(shí)m的最小值為5.

(也可用數(shù)學(xué)歸納法證明上述結(jié)果)

綜上可知,使f(m)＞f(2m²)成立的自然數(shù)m的最小值為5.

(文)解:(1)∵S_n=n²-n,

∴a=a₁=S₁=2,a₂=S₂-S₁=7,b=a₂-a₁=5.

∴a_n=5n-3(n∈N^*),

b_n=5·2^n-1(n∈N^*).

(2)由(1)知,

f(n)=k∈N^*).

①若m是正偶數(shù),則m+11是正奇數(shù).

故f(m+11)=m+10,f(m)=2m-1.

代入f(m+11)=2f(m)中,得m+10=2(2m-1),解得m=4.7分

②若m是正奇數(shù),則m+11是正偶數(shù),則f(m+11)=2(m+11)-1=2m-21,f(m)=m-1.

代入f(m+11)=2f(m)中,得2m-21=2(m-1),解得19=0,顯然不成立,此時(shí)m不存在.9分

故所求m=4.

設(shè){f(n)}的前n項(xiàng)和為S_n,則S₁₀m=S₄₀=(0+2+4+…+38)+(3+7+11+…+79)

=

=1 200.