Question

已知f(x)=3-2|x|，g(x)=x 2-2x，F(xiàn)(x)=

g(x)，當(dāng)f(x)≥g(x)時(shí) f(x)，當(dāng)f(x)＜g(x)時(shí)

，則F（x）的最值是（　�。�

• A．最大值為3，最小值-1
• B．最大值為7-2

  7

  ，無最小值
• C．最大值為3，無最小值
• D．既無最大值為，也無最小值

Answer 1

分析：將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)，去掉絕對(duì)值后，分別解不等式f（x）≥g（x）和f（x）＜g（x），得到相應(yīng)的x的取值范圍．最后得到函數(shù)F（x）在三個(gè)不同區(qū)間內(nèi)分段函數(shù)的表達(dá)式，然后分別在三個(gè)區(qū)間內(nèi)根據(jù)單調(diào)性，求出相應(yīng)式子的值域，最后得到函數(shù)F（x）在R上的值域，從而得到函數(shù)有最大值而無最小值．

解答：解：f（x）=3-2|x|=

3-2x    (x≥0) 3+2x   (x＜0)

①當(dāng)x≥0時(shí)，解f（x）≥g（x），得3-2x≥x²-2x⇒0≤x≤

3

；
解f（x）＜g（x），得3-2x＜x²-2x⇒x＞

3

．
②當(dāng)x＜0，解f（x）≥g（x），得3+2x≥x²-2x⇒2-

7

≤x＜0；
解f（x）＜g（x），得3+2x＜x²-2x⇒x＜2-

7

；
綜上所述，得F(x)= 

3+2x      (x＜2- 7 ) x2-2x     (2- 7 ≤x≤ 3 )  3-2x       (x＞ 3 )

分三種情況討論：
①當(dāng)x＜2-

7

時(shí)，函數(shù)為y=3+2x，在區(qū)間（-∞，2-

7

）是單調(diào)增函數(shù)，故F（x）＜F（2-

7

）=7-2

7

；
②當(dāng)2-

7

≤x≤

3

時(shí)，函數(shù)為y=x²-2x，在（2-

7

，1）是單調(diào)增函數(shù)，在（1，

3

）是單調(diào)減函數(shù)，
故-1≤F（x）≤2-

7

③當(dāng)x＞

3

時(shí)，函數(shù)為y=3-2x，在區(qū)間（

3

，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，故F（x）＜F（

3

）=3-2

3

＜0；
∴函數(shù)F（x）的值域?yàn)椋?∞，7-2

7

]，可得函數(shù)F（x）最大值為F（2-

7

）=7-2

7

，沒有最小值．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題以含有絕對(duì)值的函數(shù)和分段函數(shù)為載體，考查了函數(shù)的值域與最值的求法、基本初等函數(shù)的單調(diào)性和值域等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．