Question

如下圖，正方形ABCD與ABEF不在同一平面內(nèi)，M、N分別在AC、BF上，且AM＝FN

求證：MN∥平面CBE．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：如下圖，作MT∥AB交BC 　　于點(diǎn)T，作NH∥AB交BE于點(diǎn)H，連結(jié)HT， 　　∵AM＝FN， 　　又∵ABCD與ABEF為正方形， 　　∴△CMT≌△MNH． 　　∴MT＝NH． 　　∴四邊形MNHT是平行四邊形． 　　∴MN∥TH． 　　又∵HT平面BCE，MN平面BCE， 　　∴MN∥平面BCE． 　　證法二：如下圖，連結(jié)AN并延長交BE于P點(diǎn)，連結(jié)CP， 　　∵BE∥AF， 　　∴AN∶NP＝FN∶NB． 　　又∵AM＝FN， 　　∴NB＝MC． 　　∴AN∶NP＝AM∶MC． 　　∴MN∥CP． 　　∵CP平面CBE，MN平面CBE， 　　∴MN∥平面CBE． 　　思路分析：要證MN∥平面CBE須找到平面BCE內(nèi)與MN平行的“目標(biāo)直線”． 　　溫馨提示：(1)要證線面平行，即須證線線平行，即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決，這是數(shù)學(xué)上常用的化歸思想． 　　(2)由直線和平面平行的判定定理可以知道，證明直線和平面平行只需要在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行即可．有時(shí)平面內(nèi)的這條直線是圖形中原來就有的，而有時(shí)圖形中卻沒有現(xiàn)成的直線和這條直線平行．這時(shí)問題的關(guān)鍵是如何在平面內(nèi)尋求一條直線和該直線平行．例1中的證法一這種構(gòu)造“目標(biāo)直線的方法我們形象地稱為”平行光源投影法，即用一束平行于AB的光線照射MN，MN在面BCE內(nèi)的投影即為目標(biāo)直線．例1中的證法二這種構(gòu)造“目標(biāo)直線”的方法，我們形象地稱之為“點(diǎn)光源投影法”，即將點(diǎn)A看作光源，MN在平面BCE內(nèi)的投影即為所尋找的目標(biāo)直線．