Question

設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）是拋物線y=x²上的三個動點，其中x₃＞x₂≥0，△ABC是以B為直角頂點的等腰直角三角形．
（1）求證：直線BC的斜率等于x₂+x₃，也等于

x2-x1

x3-x2

；
（2）求A、C兩點之間距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線BC的斜率，把點B，C代入拋物線方程，求得橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的關(guān)系代入斜率公式中，判斷出k＞0，同時根據(jù)AB⊥BC則可表示出AB的斜率，然后根據(jù)弦長公式表示出AB和BC的長，根據(jù)題意使二者相等，整理出k的表達式，題設(shè)得證．
（2）x₃=k-x₂，x₁=-

1

k1

-x2，代入（1）中k的表達式，依據(jù)x₂的范圍判斷出k的范圍，進而利用弦長公式，表示出|AC|，進而利用均值不等式求得其最小值．

解答：解：
（1）證明設(shè)直線BC的斜率為k，
∵y₂=x₂²，y₃=x₃²，x₃＞x₂≥0，
k=

y3-y2

x3-x2

=

x32-x22

x3-x2

=x3+x2＞0，
又∵AB⊥BC，∴直線AB的斜率為-

1

k1

=x1+x2＜0，
∴x₁＜-x₂＜0，由|AB|=|BC|，得

1+(- 1 k )2

|x₂-x₁|=

1+k2

|x₂-x₃|，
整理，得：k2=(

x2-x1

x3-x2

)2，而x₃＞x₂≥0＞x₁，
且k＞0，∴k=

x2-x1

x3-x2

（2）將x₃=k-x₂，x₁=-

1

k1

-x2，代入k=

x2-x1

x3-x2

中，
整理，得x₂=

k3-1

2k(k+1)

，
∵x₂≥0，k＞0，∴k≥1，
∵|AC|=

2

|BC|=

2

1+k2

|x₃-x₂|
=

2

1+k2

（k-

k3-1

k(k+1)

）
=

2(1+k2)

•

1+k2

k(k+1)

≥

k2+1+2k

•

2k

k(k+1)

=2
∴當(dāng)且僅當(dāng)k=1時，|AC|的最小值為2．

點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，斜率公式及弦長公式的綜合應(yīng)用．考查了學(xué)生運算能力，推理能力和綜合運用所學(xué)知識的能力．