Question

已知曲線x²=-y+8與x軸交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P與A、B連線的斜率之積為-

1

2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）MN是動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的一條弦，且直線OM、ON的斜率之積為-

1

2

．
①求OM•ON的最大值；②求△OMN的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出A、B的坐標(biāo)，利用動(dòng)點(diǎn)P與A、B連線的斜率之積為-

1

2

，建立方程，即可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）①設(shè)直線MN的方程為：y=kx+m代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求出OM•ON的最大值；②分類討論，即可求△OMN的面積．

解答： 解：（1）在方程x²=-y+8中令y=0得：x=±2

2

∴A（-2

2

，0），B（2

2

，0）（2分）
設(shè)P（x，y），則kAPkBP=

y

x+2 2

•

y

x-2 2

=-

1

2

整理得：

x2

8

+

y2

4

=1
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1（x≠±2

2

）（4分）
（2）①設(shè)直線MN的方程為：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0（5分）
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2•

2m2-8

1+2k2

+km•

-4km

1+2k2

+m2=

m2-8k2

1+2k2

（6分）
∵kOMkON=-

1

2

，∴

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

即

m2-8k2

1+2k2

=-

1

2

•

2m2-8

1+2k2

⇒m2=4k2+2（7分）
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=2-

4

1+2k2

（8分）
∴-2≤

OM

•

ON

＜2（9分）
當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)M（x₁，y₁），則N（x₁，-y₁）
則kOMkON=-

y 2 1

x 2 1

=-

1

2

⇒

x

2 1

=2

y

2 1

（10分）
又

x 2 1

8

+

y 2 1

4

=1，∴

y

2 1

=2

OM

•

ON

=

x

2 1

-

y

2 1

=

y

2 1

=2
∴

OM

•

ON

的最大值為2（11分）
②S△OMN=

1

2

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

•

|m|

1+k2

=2

4k2-m2+4

=2

2

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，S△OMN=

1

2

|x1||2y1|=2

2

∴△OMN的面積為2

2

． （13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形面積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．