Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（1，7sinα），且0＜β＜α＜

π

2

．若

a

•

b

=

13

14

，

a

∥

c

，
（1）求tanβ的值；
（2）求cos（2α-

1

2

β）

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算,兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式求得cos（α-β）=

13

14

，再根據(jù)0＜β＜α＜

π

2

，求得tan（α-β）的值．再根據(jù)

a

∥

c

，可求得cosα=

1

7

，可得tanα的值．再由tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

3 3

13

，求得tanβ 的值，可得β的值．
（2）由（1）可得cos2α 的值，可得sin2α=2sinαcosα的值，再根據(jù)cos（2α-

1

2

β）=cos（2α-

π

6

），利用兩角差的余弦公式計算求得結(jié)果．

解答： 解：（1）由

a

•

b

=

13

14

，可得cosαcosβ+sinαsinβ=

13

14

，即 cos（α-β）=

13

14

，
再根據(jù)0＜β＜α＜

π

2

，∴sin（α-β）=

3 3

14

，tan（α-β）=

3 3

13

．
再根據(jù)

a

∥

c

，可得

cosα

1

=

sinα

7sinα

，求得cosα=

1

7

，可得 sinα=

4 3

7

，∴tanα=4

3

．
由tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

4 3 -tanβ

1+4 3 tanβ

=

3 3

13

，求得tanβ=

3

，∴β=

π

3

．
（2）由（1）可得cos2α=2cos²α-1=-

47

49

，sin2α=2sinαcosα=2×

4 3

7

×

1

7

=

8 3

49

，
∴cos（2α-

1

2

β）=cos（2α-

π

6

）=cos2αcos

π

6

+sin2αsin

π

6

=-

47

49

×

3

2

+

8 3

49

×

1

2

=-

39 3

49

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．