Question

通過計算可得下列等：

2²－1²＝2×1＋1，

3²－2²＝2×2＋1，

4²－3²＝2×3＋1，

……

(n＋1)²－n²＝2n＋1．

將以上各等兩邊分別相加得(n＋1)²－1²＝2(1＋2＋…＋n)＋n，即1＋2＋3＋…＋n＝．

(1)類比上述求法，請你求出1²＋2²＋3²＋…＋n²的值．

(2)根據(jù)上述結論試求1²＋3²＋5²＋…＋99²的值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)∵2³－1³＝3×1²＋3×1＋1，

　　3³－2³＝3×2²＋3×2＋1，

　　4³－3³＝3×3²＋3×3＋1，

　　……

　　(n＋1)³－n³＝3×n²＋3×n＋1．

　　將以上各式兩邊分別相加得

　　(n＋1)³－1³＝3(1²＋2²＋…＋n²)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，

　　∴1²＋2²＋…＋n²

　　＝[(n＋1)³－1－n－3n]

　�。�n(n＋1)(2n＋1)．

　　(2)1²＋3²＋5²＋…＋99²

　�。�1²＋2²＋3²＋…＋100²－(2²＋4²＋6²＋…＋100²)

　　＝1²＋2²＋3²＋…＋100²－4(1²＋2²＋3²＋…＋50²)

　�。�×100×101×201－4××50×51×101

　�。�166 650．