Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+

1

x

，
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，從而確定導(dǎo)數(shù)及切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求切線方程；
（2）由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．

解答： 解：（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
又∵f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∴f′（1）=0，又f（1）=1；
所以切線方程為：y=1；
（2）x，f（x），f′（x）列表如下：

x	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-
f（x）	2-ln2	↓	極小值1	↑	1 2 +lln2

∴函數(shù)的最小值是f（1）=1； 
又∵f（

1

2

）-f（2）=

3

2

-ln4=

1

2

ln

e3

16

＞0，
∴函數(shù)的最大值是f（

1

2

）=2-ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．