Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）的極大值為

4

27

，求實數(shù)b的值；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g(shù)（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當b=0時，設(shè)F（x）=

f(x)， x＜1 g(x)， x≥1

，對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=F（x）上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O(shè)（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？請說明理由．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）直接對f（x）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0即可求出極大值點與極大值，根據(jù)f（x）的極大值為

4

27

，建立方程，即可解出b的值；
（2）根據(jù)條件化簡g（x）≥-x²+（a+2）x得，a≤

x2-2x

x-lnx

，(x∈[1，e])，求出t(x)=

x2-2x

x-lnx

，(x∈[1，e])的最小值即可確定a的范圍；
（3）先假設(shè)曲線y=F（x）上存在兩點P，Q滿足題意，設(shè)出P（t，F(xiàn)（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），從而由△POQ是以O(shè)（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形可建立關(guān)系式-t²+F（t）（t³+t²）=0，分情況求解即可．

解答： 解析：（1）由f（x）=-x³+x²+b，得
f'（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），
令f'（x）=0，
得x=0或

2

3

．
當x變化時，f'（x）及f（x）的變化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴f（x）的極大值為f(

2

3

)=

4

27

+b=

4

27

，
∴b=0．
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，
得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，
∴l(xiāng)nx≤1≤x，且等號不能同時取，
∴l(xiāng)nx＜x，即x-lnx＞0．
∴a≤

x2-2x

x-lnx

，(x∈[1，e])恒成立，
令t(x)=

x2-2x

x-lnx

，(x∈[1，e])，
則t′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
當x∈[1，e]，時，x-1≥0，0≤lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
∴t'（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴t（x）_min=t（1）=-1，
∴a≤-1．
（3）由條件，F(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx，        x≥1

，
假設(shè)曲線y=F（x）上存在兩點P，Q滿足題意，則P，Q只能在y軸兩側(cè)，
不妨設(shè)P（t，F(xiàn)（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），且t≠1．
∵△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，
∴

OP

•

OQ

=0，
∴-t²+F（t）（t³+t²）=0（*），
是否存在P，Q等價于方程（*）在t＞0且t≠1時是否有解．
①若0＜t＜1時，方程（*）為-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，
化簡得t⁴-t²+1=0，此方程無解；
②若t＞1時，方程（*）為-t²+alnt•（t³+t²）=0，
即

1

a

=(t+1)lnt，
設(shè)h（t）=（t+1）lnt（t＞1），
則h′(t)=lnt+

1

t

+1，
顯然，當t＞1時，h'（t）＞0，
即h（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（t）的值域為（h（1），+∞），
即（0，+∞），
∴當a＞0時，方程（*）總有解．
∴對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=F（x） 上總存在兩點P，Q，
使得△POQ是以O(shè)（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值和最值的相關(guān)知識，恒成立問題和存在性問題的解決技巧，以及方程根的存在性定理的應(yīng)用．屬于難題．