Question

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（）.

（1）求，，，的值；

（2）猜想的表達(dá)式，并加以證明.

Answer 1

解：（1）因?yàn)?sub>，，              

所以，當(dāng)時(shí)，有，解得；                  

當(dāng)時(shí)，有，解得；              

當(dāng)時(shí)，有，解得；          

當(dāng)時(shí)，有，解得.      

（2）猜想（）                                    

方法一：

由（），得（），          

兩式相減，得，即（）.           

兩邊減2，得，                                   

所以{}是以-1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

故，                                            

即（）.                                       

方法二：

①當(dāng)n=1時(shí)，由（1）可知猜想顯然成立；                           

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即，                        

由（），得，

兩式相減，得，                                   

所以，

即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立.                                     

根據(jù)①和②，知對(duì)任意，猜想成立.