Question

如果函數(shù)f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

分析：先化簡f（x）的表達式，令t=a^x．則f（t）=t²-（3a²+1）t（t＞0）．下面對參數(shù)a分類討論，利用復合函數(shù)的單調(diào)性的方法求解即可．

解答：解：由題意得f（x）=（a^x）²-（3a²+1）a^x，
令t=a^x．f（t）=t²-（3a²+1）t（t＞0）．
當a＞1時，t=a^x在[0，+∞）上為增函數(shù)，則此時t≥1，
而對于f（t）而言，對稱軸t=

3a2+1

2

＞2，
故f（x）在[0，+∞）上不可能為增函數(shù)；
當0＜a＜1時，t=a^x在[0，+∞）上為減函數(shù)，
此時0＜t＜1，要使f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
則f（t）在（0，1]上必為減函數(shù)，故

3a2+1

2

≥1．
∴a≥

3

3

或a≤-

3

3

，
∴

3

3

≤a＜1．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．