已知函數(shù)f(x)=x(1+x)2
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)設(shè)g(x)=ax2,若對于任意x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)函數(shù)的定義域為R,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個二次函數(shù),再討論此二次函數(shù)的正負,在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式
fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而得出函數(shù)的極值;
(2)變形為兩個函數(shù)的差f(x)-g(x)≥0在x>0時恒成立,再根據(jù)x∈(0,+∞)為正數(shù),所以x
2+(2-a)x+1≥0恒成立即為
a-2≤+x恒成立,利用基本不等式,可得a-2≤2,得a≤4.
解答:解:因為f(x)=x
3+2x
2+x
所以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=3x
2+4x+1=(3x+1)(x+1)
令f′(x)=0,解得x
1=-1,
x2=-因為當(dāng)x<-1或
x>-時,f′(x)>0;當(dāng)
-1<X<時f′(x)<0
所以的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,-1)和(
-,+∞)
的單調(diào)減區(qū)間是
(-1,-)所以f(-1)=0是f(x)的極大值,
f(-)=-是f(x)的極小值
(Ⅱ)f(x)-g(x)=x
3+2x
2+x-ax
2=x[x
2+(2-a)x+1]
由已知x[x
2+(2-a)x+1]≥0(x>0)恒成立,
因為x∈(0,+∞),所以x
2+(2-a)x+1≥0恒成立,
即
a-2≤+x恒成立.
因為x>0,所以
+x≥2,(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”號),
所以
+x的最小值為2.由a-2≤2,得a≤4,
所以f(x)≥g(x)恒成立時,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,4]
點評:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的極值與最值,屬于中檔題.導(dǎo)數(shù)與不等式相結(jié)合是考試常見考點,也是教學(xué)中的重點和難點,學(xué)生應(yīng)熟練掌握.
(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題,
(2)將恒成立問題轉(zhuǎn)化為作差所函數(shù)恒正的問題,再根據(jù)正數(shù)的特征,將不等式變形為運用基本不等式的形式,加以求解,這是典型的轉(zhuǎn)化化歸思想.