Question

已知拋物線的焦點(diǎn)以及橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上．

（1）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩不同點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知，則

是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ,;(2)-1.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程確定等量關(guān)系，求解拋物線方程；根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)和右定點(diǎn)也在圓上，確定橢圓方程；（2）利用已知的向量關(guān)系式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出，然后通過直線與拋物線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理進(jìn)行化簡并求值.

試題解析：（1）由拋物線的焦點(diǎn)在圓上得：，，∴拋物線                            3分

同理由橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上可解得：．

得橢圓．                                               6分

（2）是定值，且定值為－1．

設(shè)直線的方程為，則．

聯(lián)立方程組，消去得：

且   ,                         9分

由得：

整理得：,

．                14分

考點(diǎn)：1.拋物線和橢圓的方程；（2）直線與拋物線的位置關(guān)系；（3）向量的坐標(biāo)運(yùn)算.