如圖所示的多面體,它的正視圖為直角三角形,側(cè)視圖為正三角形,俯視圖為正方形(尺寸如圖所示),E為VB的中點(diǎn).
(1)求證:VD∥平面EAC;
(2)求二面角A-VB-D的余弦值.
分析:(1)欲證VD∥平面EAC,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證VD與平面EAC內(nèi)一直線平行即可,而連接BD交AC于O點(diǎn),連接EO,由已知易得VD∥EO,VD?平面EAC,EO?平面EAC,滿足定理?xiàng)l件;
(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為P,則VP⊥平面ABCD,建立坐標(biāo)系,利用向量的夾角公式,可求二面角A-VB-D的余弦值.
解答:(1)證明:由正視圖可知:平面VAB⊥平面ABCD
連接BD交AC于O點(diǎn),連接EO,由已知得BO=OD,VE=EB
∴VD∥EO
又VD?平面EAC,EO?平面EAC
∴VD∥平面EAC;
(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為P,則VP⊥平面ABCD,建立如圖所示的坐標(biāo)系,
PO
=(0,1,0)
設(shè)平面VBD的法向量為
n
=(x,y,z)

BD
=(-2,2,0),
VB
=(1,0,-
3
)

∴由
n
BD
n
VB
,可得
-2x+2y=0
x-
3
z=0
,∴可取
n
=(
3
,
3
,1)
∴二面角A-VB-D的余弦值cosθ=
n
PO
|
n
||
PO
|
=
21
7
點(diǎn)評(píng):本題考查三視圖,考查了直線與平面平行的判定,考查面面角,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖所示的多面體,它的正視圖為直角三角形,側(cè)視圖為矩形,俯視圖為直角梯形(尺寸如圖所示)
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(1)求證:AE∥平面DCF;
(2)當(dāng)AB的長(zhǎng)為
92
,∠CEF=90°時(shí),求二面角A-EF-C的大。

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(1)求證:AE∥平面DCF;
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