解:(1)當k=0,b=3,p=-4時,3(a
1+a
n)-4=2(a
1+a
2…+a
n),①
用n+1去代n得,3(a
1+a
n+1)-4=2(a
1+a
2…+a
n+a
n+1),②
②-①得,3(a
n+1-a
n)=2a
n+1,a
n+1=3a
n,(2分)
在①中令n=1得,a
1=1,則a
n≠0,∴
,
∴數(shù)列{a
n}是以首項為1,公比為3的等比數(shù)列,
∴a
1+a
2+a
3+…+a
n=
.(4分)
(2)當k=1,b=0,p=0時,n(a
1+a
n)=2(a
1+a
2…+a
n),③
用n+1去代n得,(n+1)(a
1+a
n+1)=2(a
1+a
2…+a
n+a
n+1),④
④-③得,(n-1)a
n+1-na
n+a
1=0,⑤(6分)
用n+1去代n得,na
n+2-(n+1)a
n+1+a
1=0,⑥
⑥-⑤得,na
n+2-2na
n+1+na
n=0,即a
n+2-a
n+1=a
n+1-a
n,(8分)
∴數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列.
∵a
3=3,a
9=15,∴公差
,∴a
n=2n-3.(10分)
(3)由(2)知數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列,∵a
2-a
1=2,∴a
n=a
1+2(n-1).
又{a
n}是“封閉數(shù)列”,得:對任意m,n∈N
*,必存在p∈N
*使a
1+2(n-1)+a
1+2(m-1)=a
1+2(p-1),
得a
1=2(p-m-n+1),故a
1是偶數(shù),(12分)
又由已知,
,故
.
一方面,當
時,S
n=n(n+a
1-1)>0,對任意n∈N
*,都有
.
另一方面,當a
1=2時,S
n=n(n+1),
,則
,
取n=2,則
,不合題意.(14分)
當a
1=4時,S
n=n(n+3),
,則
,
當a
1≥6時,S
n=n(n+a
1-1)>n(n+3),
,
,
又
,
∴a
1=4或a
1=6或a
1=8或a
1=10.(16分)
分析:(1)當k=0,b=3,p=-4時,3(a
1+a
n)-4=2(a
1+a
2…+a
n),再寫一式,兩式相減,可得數(shù)列{a
n}是以首項為1,公比為3的等比數(shù)列,從而可求a
1+a
2+a
3+…+a
n;
(2)當k=1,b=0,p=0時,n(a
1+a
n)=2(a
1+a
2…+a
n),再寫一式,兩式相減,可得數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列,從而可求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(3)確定數(shù)列{a
n}的通項,利用{a
n}是“封閉數(shù)列”,得a
1是偶數(shù),從而可得
,再利用
,驗證,可求數(shù)列{a
n}的首項a
1的所有取值.
點評:本題考查數(shù)列的通項與求和,考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定,考查學生分析解決問題的能力,屬于難題.