Question

過x軸上一點M（x₀，0）作圓C：x2+(y-

2

)2=1的兩條切線，切點分別為A、B，若|AB|≥

3

，，則x₀的取值范圍是（　�。�

• A．[-

  2

  ，

  2

  ]
• B．[-2.2]
• C．(-∞，-

  2

  ]∪[

  2

  ，+∞)
• D．（-∞，-2）∪[2，+∞）

Answer 1

分析：如圖，當|AB|=

3

時，M在y軸左側(cè)，當M往右運動時，|AB|長變小，往左運動時，|AB|長變大，M在y軸右側(cè)，剛好相反，故連接CA，CB，MC，由MA及MB為圓C的切線，根據(jù)切線性質(zhì)得到CA與AM垂直，CB與BM垂直，由圓C的方程找出圓心坐標和圓的半徑，可得到|AC|的長，利用HL證明三角形ACM與三角形BCM全等，再利用三線合一得到CN與AB垂直，N為AB中點，可求出|AN|的長，又直角三角形ACN與直角三角形ACM相似，根據(jù)對應邊成比例可求出|CM|的長，在直角三角形COM中，利用勾股定理求出|OM|的長，可得出此時M的坐標，根據(jù)分析的規(guī)律，即可得到滿足題意的x₀的取值范圍．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

若M在y軸左邊，過M作圓C的兩條切線MA與MB，切點分別為A和B，
連接CA，CB，CM，∴CA⊥AM，CB⊥BM，
在Rt△ACM與Rt△BCM中，
MC=MC，CA=CB，
∴Rt△ACM≌Rt△BCM（HL），
∴∠ACM=∠BCM，又CA=CB，
∴CN⊥AB，AN=BN，
當|AB|=

3

時，由圓C的方程x2+(y-

2

)2=1，得到圓心C（0，

2

），半徑|CA|=|CB|=1，
在Rt△ANC中，由|AC|=1，|AN|=

1

2

|AB|=

3

2

，
根據(jù)勾股定理得：|CN|=

1

2

，
又Rt△ACN∽Rt△MAC，
∴|AC|²=|CN|•|CM|，∴|CM|=2，
在Rt△OCM中，|OC|=

2

，|CM|=2，
根據(jù)勾股定理可得：|OM|=

2

；
若M在y軸右邊，同理可得|OM|=

2

，
則x₀的取值范圍是(-∞，-

2

] ∪[

2

，+∞)．
故選C

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，其中根據(jù)題意得出當|AB|=

3

時，M在y軸左側(cè)，當M往右運動時，|AB|長變小，往左運動時，|AB|長變大，M在y軸右側(cè)，剛好相反是解本題的關(guān)鍵．