Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若4S_n=（2n-1）a_n+1+1（n∈N），且a₁=1．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn=

1

an Sn

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：T_n＜

3

2

（n∈N）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得4a_n=（2n-1）a_n+1-（2n-3）a_n，從而

an+1

an

=

2n+1

2n-1

，由此能證明數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）由a_n=2n-1，S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²，得bn=

1

an Sn

=

2

2n(2n-1)

＜

2

2n(2n-2)

=

1

2n-2

-

1

2n

，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明T_n＜

3

2

（n∈N）．

解答： （1）證明：∵4S_n=（2n-1）a_n+1+1，①
∴n≥2時(shí)，4S_n-1=（2n-3）a_n+1，②
①-②，得4a_n=（2n-1）a_n+1-（2n-3）a_n，n≥2
∴（2n+1）a_n=（2n-1）a_n+1，
∴

an+1

an

=

2n+1

2n-1

，
∴a_n=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=1×

3

1

×

5

3

×…×

2n-1

2n-3

=2n-1，
∴a_n-a_n-1=（2n-1）-（2n-3）=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）解：∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1，S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²，
∴bn=

1

an Sn

=

1

(2n-1)n

=

2

2n(2n-1)

＜

2

2n(2n-2)

=

1

2n-2

-

1

2n

，n≥2
∴T_n＜（1+

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2n-2

-

1

2n

）
=

3

2

-

1

2n

＜

3

2

．
∴T_n＜

3

2

（n∈N）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的證明，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累乘法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．