Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為直角三角形，∠ACB=

π

2

，頂點C₁在底面△ABC內(nèi)的射影是點B，且AC=BC=BC₁=3，點T是平面ABC₁內(nèi)一點．
（1）若T是△ABC₁的重心，求直線A₁T與平面ABC₁所成角；
（2）是否存在點T，使TB₁=TC且平面TA₁C₁⊥平面ACC₁A₁，若存在，求出線段TC的長度，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）以CB、CA分別為x，y軸，過C作直線Cz∥BC1，以Cz為z軸建立空間坐標系，求出直線A₁T的方向向量和平面ABC₁的法向量，代入向量夾角公式，可得直線A₁T與平面ABC₁所成角；
（2）T在面ABC₁內(nèi)，

CT

=

CB

+

BT

=

CB

+m

BC1

+n

BA

，由TB₁=TC得，-2m+4n=-1…①；求出面CAA₁C₁法向量

n

和面TA₁C₁法向量

i

，由平面TA₁C₁⊥平面ACC₁A₁，得：m=n+1…②，解方程組求出m，n的值，進而可得TC的長度．

解答： 解：如圖以CB、CA分別為x，y軸，過C作直線Cz∥BC1，以Cz為z軸建立空間坐標系，
則B（3，0，0），C（0，0，0），A（0，3，3），C₁（3，0，3），
∵

CB1

=

CC1

+

CB

=（6，0，3），
∴B₁（6，0，3），
∵

CA1

=

CC1

+

CA

=（3，3，3），
∴A₁（3，3，3），
（1）∵T是△ABC₁重心，
∴T（2，1，1），
∴

.

TA1

=（1，2，2），
設面ABC₁的法向量為

m

=（x，y，z），
由

AB

=（3，-3，0），及

m ⊥ AB m ⊥ CA1

得：

3x-3y=0 3x+3y+3z=0

令x=1，則

m

=（1，1，0），
設直線A₁T與平面ABC₁所成角為θ，
則cosθ=

| TA1 • m |

| TA1 |•| m |

=

3

3× 2

=

2

2

，
故θ=

π

4

，
故直線A₁T與平面ABC₁所成角為

π

4

．
（2）T在面ABC₁內(nèi)，

CT

=

CB

+

BT

=

CB

+m

BC1

+n

BA

=（3-3n，3n，3m），
即T（3-3n，3n，3m）．由TB₁=TC得：
（3-3n）²+（3n）²+（3m）²=（3n+3）²+（3n）²+（3m-3）²，
即-2m+4n=-1…①
設面CAA₁C₁法向量為

n

=（a，b，c），由

CA

=（0，3，0），

CC1

=（3，0，3）得：

3b=0 3a+3c=0

，
取a=1，則

n

=（1，0，-1），
設面TA₁C₁法向量為

i

=（x，y，z），
由

C1A1

=（0，3，0），

C1T

=（-3n，3n，3m-3），得：

3y=0 -3nx+(3m-3)z=0

取x=m-1，則

i

=（m-1，0，n），
由平面TA₁C₁⊥平面ACC₁A₁，得：
cos＜

n

，

i

＞=

m-1-n

2 (m-1)2+n2

=0，
即m=n+1…②
由①②解得，
n=

1

2

，m=

3

2

，
∴存在點T（

3

2

，

3

2

，

9

2

）滿足條件，此時TC=

3 11

2

．…10分

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的性質(zhì)，二面角的平面角及求法，直線與平面的夾角，其中建立空間直角坐標系，將問題轉化為向量夾角問題是解答的關鍵．