已知a,b,c為正數(shù),用排序不等式證明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
考點(diǎn):排序不等式
專(zhuān)題:不等式的解法及應(yīng)用
分析:由(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2≥0,得a3+b3≥a2b+ab2,同理,a3+c3≥a2c+ac2,b3+c3≥b2c+bc2三式相加,能證明2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
解答: 證明:先證明:a3+b3≥a2b+ab2,
∵(a3+b3)-(a2b+ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a2-b2)(a-b)
=(a+b)(a-b)2
≥0,
∴a3+b3≥a2b+ab2,取等號(hào)的條件是a=b,
同理,a3+b3≥a2b+ab2
a3+c3≥a2c+ac2,
b3+c3≥b2c+bc2
三式相加,得:
2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),
取等號(hào)的條件是a=b=c,
∴2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的證明,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意作差法的合理運(yùn)用.
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