Question

3．已知直線(xiàn)x-9y-8=0與曲線(xiàn)C：y=x³-mx²+3x相交于A，B兩點(diǎn)，且曲線(xiàn)C在A，B兩點(diǎn)處的切線(xiàn)平行，則實(shí)數(shù)m的值為（　　）

• A． 4或-3
• B． 4或-3或1
• C． 1或3
• D． 3

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，得到函數(shù)在A，B點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，由A，B點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等得到3x₁²-2mx₁+3=3x₂²-2mx₂+3=t，把x₁，x₂看作方程3x²-2mx+3-t=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系得到x₁+x₂=$\frac{2}{3}$m，進(jìn)一步得到AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后再證明AB的中點(diǎn)在曲線(xiàn)C上，最后由AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等求得實(shí)數(shù)m的值，注意檢驗(yàn)．

解答 解：由y=x³-mx²+3x，得y′=3x²-2mx+3，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則曲線(xiàn)C在A，B處的切線(xiàn)的斜率分別為3x₁²-2mx₁+3，
3x₂²-2mx₂+3，
∵曲線(xiàn)C在A，B處的切線(xiàn)平行，
∴3x₁²-2mx₁+3=3x₂²-2mx₂+3，
令3x₁²-2mx₁+3=3x₂²-2mx₂+3=t，
∴x₁，x₂是方程3x²-2mx+3-t=0的兩個(gè)根，
則x₁+x₂=$\frac{2}{3}$m，x₁x₂=$\frac{3-t}{3}$，
下面證線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在曲線(xiàn)C上，
∵$\frac{{{x}_{1}}^{3}-m{{x}_{1}}^{2}+3{x}_{1}+{{x}_{2}}^{3}-m{{x}_{2}}^{2}+3{x}_{2}}{2}$
=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}]-m[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}]+3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$
=$\frac{-\frac{4}{27}{m}^{3}+2m}{2}$=-$\frac{2}{27}$m³+m，
而（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）³-m（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²+3•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2}{27}$m³+m，
∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在曲線(xiàn)C上，
由x₁+x₂=$\frac{2}{3}$m，知線(xiàn)段的中點(diǎn)為（$\frac{1}{3}$m，$\frac{1}{9}$（$\frac{1}{3}$m-8）），
∴-$\frac{8}{9}$+$\frac{1}{27}$m=-$\frac{2}{27}$m³+m，
即（m+1）（m-4）（m+3）=0，
解得m=-1，-3或4．
當(dāng)m=-1時(shí)，y=x³+x²+3x的導(dǎo)數(shù)為y′=3x²+2x+3＞0恒成立，
即函數(shù)為遞增函數(shù)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，舍去；
m=-3，或4時(shí)，y=x³-mx²+3x不單調(diào)，成立．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)方程，求解該題的關(guān)鍵是利用AB中點(diǎn)的坐標(biāo)相等，關(guān)鍵是證明AB的中點(diǎn)在曲線(xiàn)C上，是中檔題．