Question

（2012•桂林模擬）已知A、B、P是直線l上三個(gè)相異的點(diǎn)，平面內(nèi)的點(diǎn)O∉l，若正實(shí)數(shù)x、y滿足4

OP

=2x

OA

+y

OB

，則

1

x

+

1

y

的最小值為

3

4

+

2

2

．

Answer 1

分析：由題意可得，

1

2

x+

1

4

y=1，而

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（

1

2

x+

1

4

y），展開利用基本不等式即可求解

解答：解：A、B、P是直線l上三個(gè)點(diǎn)，且4

OP

=2x

OA

+y

OB

，
即

OP

=

1

2

x

OA

+

1

4

y

OB

∴

1

2

x+

1

4

y=1
∴

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（

1

2

x+

1

4

y）
=

3

4

+

y

4x

+

x

2y

≥

3

4

+2

y 4x • x 2y

=

3

4

+

2

2

當(dāng)且僅當(dāng)

y

4x

=

x

2y

即y=

2

x
此時(shí)x=4-2

2

，y=4

2

-4時(shí)取等號(hào)
故答案為：

3

4

+

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的共線定理的應(yīng)用，基本不等式求解最值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

1

2

x+

1

4

y=1