Question

已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞）．當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=

ln(-ex)

x

．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）如果當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出x＞0時(shí)的解析式，確定f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，∞）上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在x=1處取得唯一的極值，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在極值點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）令g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

(x≥1)，由題意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，求出g（x）_min=g（1）=2，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：x＞0時(shí)，f(x)=-f(-x)=

ln(ex)

x

=

1+lnx

x

…（3分）
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，有f′(x)=

1 x •x-(1+lnx)•1

x2

=-

lnx

x2

，
f'（x）＞0?lnx＜0?0＜x＜1；f'（x）＜0?lnx＞0?x＞1
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，∞）上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在x=1處取得唯一的極值．
由題意a＞0，且a＜1＜a+

1

3

，解得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為

2

3

＜a＜1…（6分）
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥

k

x+1

?

1+lnx

x

≥

k

x+1

?k≤

(x+1)(1+lnx)

x

令g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

(x≥1)，由題意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立   …（8分）g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]′•x-(x+1)(1+lnx)•x′

x2

=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx（x≥1），則h′(x)=1-

1

x

≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=1＞0
因此，g′(x)=

h(x)

x2

＞0g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）_min=g（1）=2．…（10分）
所以k≤2．
所以所求實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，2]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問題的能力．