Question

已知P是橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是其左右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

的取值范圍是

[-

2

，

2

]

．

Answer 1

分析：設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n），利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義算出|PF₂|=e|PQ|=

2

2

（4-m）=2

2

-

2

2

m，同理可得|PF₁|=2

2

+

2

2

m，結(jié)合|PO|=

m2+n2

得

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

=

2 m

m2+n2

．再根據(jù)橢圓方程將其化簡(jiǎn)為關(guān)于m的函數(shù)，利用橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍加以計(jì)算，可得所求

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

的取值范圍．

解答：解：設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n）
∵橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1中，a²=8，b²=4，
∴c=

a2-b2

=2，得橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±

a2

c

，即x=±4
作出橢圓的右準(zhǔn)線，設(shè)P在右準(zhǔn)線上的射影為Q，連結(jié)PQ，
根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得

|PF2|

|PQ|

=e，
∴|PF₂|=e|PQ|=

2

2

（4-m）=2

2

-

2

2

m，同理可得|PF₁|=2

2

+

2

2

m，
∵|PO|=

m2+n2

，
∴

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

=

(2 2 + 2 2 m)-(2 2 - 2 2 m)

m2+n2

=

2 m

m2+n2

∵點(diǎn)P（m，n）在橢圓

x2

8

+

y2

4

=1上，得

m2

8

+

n2

4

=1，
∴n2=4(1-

m2

8

)=4-

m2

2

，
由此可得

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

=

2 m

m2+(4- m2 2 )

，得（

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

）²=

4m2

8+m2

，
∵m²∈[0，a²]即m²∈[0，8]，得

4m2

8+m2

∈[0，2]，
∴

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

∈[-

2

，

2

]．
故答案為：[-

2

，

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓，求橢圓上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之比的取值范圍．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、圓錐曲線的統(tǒng)一定義和兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．