Question

已知向量，，ω＞0且，函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離是2π．
（1）求ω值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）設函數(shù)g（x）=f（x+φ），φ∈（0，π），若g（x）為偶函數(shù)，求g（x）的最大值及相應的x值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的平行，通過向量的坐標運算，二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過函數(shù)的周期求ω值；
（2）利用增函數(shù)的單調性直接求解函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）設函數(shù)g（x）=f（x+φ），φ∈（0，π），求出g（x）的表達式，利用函數(shù)是偶函數(shù)，求出，然后求解g（x）的最大值及相應的x值．
解答：解：（1）∵∥，∴（2cosωx+2sinωx）cosωx-f（x）=0
得f（x）=（2cosωx+2sinωx）cosωx
=2cos²ωx+2sinωxcosωx
=1+cos2ωx+sin2ωx
=…（3分）
由題設可知，函數(shù)f（x）的周期T=4π，則…（4分）
（2）由（1）得，
解得，其中k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間是（k∈Z）．…（7分）
（3），∵g（x）為偶函數(shù)，
∴圖象關于y軸為對稱軸
將x=0代入，得，則有
又∵φ∈（0，π），∴，則…（10分）
當，時，函數(shù)g（x）取得最大值
此時，其中k∈Z．…（12分）
點評：本題考查復合三角函數(shù)的單調性，三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)的化簡求值，考查計算能力轉化思想．