Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-6x+5，x∈R
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若直線y=a與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）≥k（x-1）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，令f′（x）=0可得極值點，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得單調(diào)區(qū)間；根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號變化情況可判斷極值并可求解；
（2）由（1）作出函數(shù)的草圖，由圖象可得a的范圍；
（3）x∈（1，+∞）時，f（x）≥k（x-1）可化為x²+x-5≥k，令g（x）=x²+x-5，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求g（x）的最小值，從而可得k的范圍；

解答： 解：（1）f′(x)=3(x2-2)，令f′(x)=0，得x1=-

2

，x2=

2

，
∴當(dāng)x＜-

2

或x＞

2

時，f′(x)＞0；當(dāng)-

2

＜x＜

2

時，f′(x)＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-

2

，

2

)；
當(dāng)x=-

2

，f(x)有極大值5+4

2

；當(dāng)x=

2

，f(x)有極小值5-4

2

．
（2）由（1）可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向如圖所示：
∴當(dāng)5-4

2

＜a＜5+4

2

時，直線y=a與y=f(x)的圖象有3個不同交點；
（3）f（x）≥k（x-1）即（x-1）（x²+x-5）≥k（x-1），
∵x∈（1，+∞）上恒成立，∴x²+x-5≥k，
令g（x）=x²+x-5，由二次函數(shù)的性質(zhì)，g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=-3，
∴所求k的取值范圍是k≤-3．

點評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查函數(shù)恒成立，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生解決問題的能力，恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．