Question

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：由PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN，我們不妨令PA=1，然后以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系．由此不難得到各點(diǎn)的坐標(biāo)（1）要證明CM⊥SN，我們可要證明即可，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，我們不難證明；
（2）要求SN與平面CMN所成角的大小，我們只要利用求向量夾角的方法，求出SN和方向向量與平面CMN的法向量的夾角，再由它們之間的關(guān)系，易求出SN與平面CMN所成角的大�。�
解答：證明：設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖．
則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0）．（4分）
（Ⅰ），
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212603520006442/SYS201310232126035200064018_DA/6.png">，
所以CM⊥SN（6分）
（Ⅱ），
設(shè)a=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，
則令x=2，得a=（2，1，-2）．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212603520006442/SYS201310232126035200064018_DA/9.png">，
所以SN與片面CMN所成角為45°．
點(diǎn)評：如果已知向量的坐標(biāo)，求向量的夾角，我們可以分別求出兩個向量的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出兩個向量的模及他們的數(shù)量積，然后代入公式cosθ=即可求解