Question

已知函數(shù)f（x）=lnx．
（Ⅰ）若直線y=x+m與函數(shù)f（x）的圖象相切，求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）證明曲線y=f（x）與曲線y=x-

1

x

有唯一的公共點；
（Ⅲ）設0＜a＜b，比較

f(b)-f(a)

2

與

b-a

b+a

的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出f'（x），設切點為（x₀，y₀），則k=

1

x0

=1，可得x₀=1，進而可得y₀，代入y=x+m即得m；
（Ⅱ）令h（x）=f(x)-(x-

1

x

)=lnx-x+

1

x

，問題轉化為函數(shù)h（x）有唯一零點，利用導數(shù)可判斷h（x）的單調性，易知1為其一零點，從而可得結論；
（Ⅲ）作差法：

f(b)-f(a)

2

-

b-a

b+a

=

lnb-lna

2

-

b-a

b+a

=

1

2

ln

b

a

-

b a -1

b a +1

，易知

b

a

＞1，構造函數(shù)φ（x）=

1

2

lnx-

x-1

x+1

，（x＞1），利用導數(shù)可判斷φ（x）在（1，+∞）內的單調性，進而可得x＞1時，φ（x）＞0，故可得結論；

解答： 解：（I）f'（x）=

1

x

，
設切點為（x₀，y₀），則k=

1

x0

=1，
∴x₀=1，y₀=lnx₀=ln1=0，
代入y=x+m，得m=-1．
（II）令h（x）=f(x)-(x-

1

x

)=lnx-x+

1

x

，
則h′(x)=

1

x

-1-

1

x2

=

-x2+x-1

x2

=

-(x- 1 2 )2- 3 4

x2

＜0，
∴h（x）在（0，+∞）內單調遞減．
又h（1）=ln1-1+1=0，
∴x=1是函數(shù)h（x）唯一的零點，
故點（1，0）是兩曲線唯一的公共點．
（III）

f(b)-f(a)

2

-

b-a

b+a

=

lnb-lna

2

-

b-a

b+a

=

1

2

ln

b

a

-

b a -1

b a +1

，
∵0＜a＜b，∴

b

a

＞1，
構造函數(shù)φ（x）=

1

2

lnx-

x-1

x+1

，（x＞1），
則φ′（x）=

1

2x

-

x+1-(x-1)

(x+1)2

=

1

2x

-

2

(x+1)2

=

(x-1)2

2x(x+1)2

＞0，
∴φ（x）在（1，+∞）內單調遞增．
又當x=1時，φ（1）=0，
∴x＞1時，φ（x）＞0，即

1

2

lnx＞

x-1

x+1

，
則有

1

2

ln

b

a

＞

b a -1

b a +1

成立，
即

lnb-lna

2

＞

b-a

b+a

，即

f(b)-f(a)

2

＞

b-a

b+a

．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的零點、函數(shù)的最值，考查函數(shù)思想、轉化思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力．